e的x次方的收敛半径怎么求
发表时间：2024-08-22 09:02:43
来源：网友投稿
要计算e^x的收敛半径，可以使用级数的收敛性质。
利用泰勒级数展开公式，我们有：e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + ...从中可以看出，e^x的级数展开是无限级数，其中每一项的系数是x的幂次和阶乘。由级数的收敛定理可知，级数收敛的充分条件是当x的绝对值小于某个正数R时，级数收敛。这个正数R就是级数的收敛半径。利用级数收敛的判定方法，可以得到：R = lim (|a(n)/a(n+1)|), 当n趋向于无穷大时。对于e^x来说 a(n) = x^n!。所以我们可以计算出：R = lim (|(x^n!)/(x^(n+1)/(n+1)!))|), 当n趋向于无穷大时。化简后可得：R = lim (|x * (n+1)|)当n趋向于无穷大时，收敛半径R的倒数等于该极限值。所以e^x的收敛半径为R = 1/lim(|x * (n+1)|), 当n趋向于无穷大时。所以e^x的收敛半径为1/|x|。
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