4m1是奇数还是偶数

题意为有一个整数是21的倍数，其中型如4m+1的因子数比型如4n+3的因子数多6个，其中m、n都是整数。

请问这个数是多少，用质因数乘积形式表示。咋一看这道题很复杂，因为是21的倍数所以其中必含有3和7，但是型如4m+1和4n+3的因子这个就不好讨论，比如整数21，型如4m+1的有1、21，型如4n+3的有3、7，那么两种类型的因子个数是相等的。那么我们该如何下手？这里我们可以用取余(mod)的方法来做，先铺垫一点同余知识：这里型如4m+1和4n+3的因子，其实就是4m+1≡1(mod 4)，4n+3≡-1(mod 4)。那么接下去我们只需要讨论因子mod4是1还是-1就可以了。因为这个整数包含3和7，那么设其中 3^a7^b ， a,bgeq1 ，因为我们只考虑mod4，3≡-1(mod 4) 7≡-1（mod 4）所以 3^a7^b mod4 就是 (-1)^a(-1)^b 。于是可以发现，型如4m+1就是a+b为偶数的时候，4n+3就是a+b为奇数的时候。接下去我们只需要探讨 3^a7^b 因子中a+b为奇数和偶数的个数就可以了。可以发现 3^a7^b 的总因子个数为(1+a)(1+b)，且(1+a)(1+b)为偶数时，a+b为奇数和偶数的个数是一样多的；(1+a)(1+b)为奇数时a+b为偶数的个数比为奇数的个数多一个，也就是型如4n+1的因子个数比型如4m+3的因子个数多一个。那么(1+a)(1+b)只能为奇数，所以a、b都要是偶数，比如a=2，b=2；因为题目要求4m+1的因子比4n+3的因子多6个，那么只需要 3^a7^b 前面再乘一个数c，且这个数的因子个数为6，并且 cequiv 1bmod 4 ，比如 c=5^5 .注：感谢 @Emmmm 给我的建议，看的很认真[点赞]综上所述这样的数有无数个， boxed{x3^a7^b} ，满足x的因子个数为6且 xequiv1bmod 4 ，a、b都为偶数即可，比如 boxed{5^53^27^2} 。 square后来又看到这样一道题：其实，本质还是一样的，我们可以用取余mod的方法来做，型如4n+1其实就是4n+1≡1（mod 4）。因为3≡-1 (mod 4)，5≡1 (mod 4)，7≡-1 (mod 4)，所以3^a5^b7^c=(-1)^a1^b(-1)^c (mod 4) 。那么这里能取2吗？这是不可以的，因为这样mod4 是不可能为1的。那么问题就转化为 (-1)^a1^b(-1)^c 乘积为1了，所以只需要a+c为偶数即可。其中a+c为偶数一共有4*3=12种，b有4种取值，所以一共有12*4=48种。但是这里有一种是不可以的，那就是a=b=c=0，虽然是偶数，但是因子不会是4n+1，所以一共有48-1=47。