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正态分布怎么表示方差

发表时间：2024-08-23 15:08:13 来源：网友投稿

设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]其实就是均值是u，方差是t^2。

于是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t（*）积分区域是从负无穷到正无穷，下面出现的积分也都是这个区域。

（1）求均值对（*）式两边对u求导：∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0约去常数，再两边同乘以1/(√2π)t得：∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0把(u-x)拆开，再移项：∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx也就是∫x*f(x)dx=u*1=u这样就正好凑出了均值的定义式，证明了均值就是u。

（2）方差过程和求均值是差不多的，我就稍微略写一点了。对(*)式两边对t求导：∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π移项：∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2也就是∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2正好凑出了方差的定义式，从而结论得证。

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