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75°的三角函数值推导过程

发表时间：2024-08-23 16:29:40 来源：网友投稿

一个角的正弦、余弦和正切的值可以表示为三角形中对应边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边之间的比值。

在以下推导中，我们以角度制来描述三角函数。假设有一个角A，其角度为75°，那么根据三角函数定义，我们可以得到：

1. 正弦函数sin(A) = 对边/斜边在三角形ABC中，角B为直角，假设AB=1，由A的度数可得，AC = 1/cos(75°)那么三角形ABC的对边为BC = sin(A) * AC = sin(75°) * (1/cos(75°)) = (sin(75°))/cos(75°)2. 余弦函数cos(A) = 邻边/斜边同样在三角形ABC中，角B为直角，假设AB=1，由A的度数可得，AC = 1/cos(75°)那么三角形ABC的邻边为AB = cos(A) * AC = cos(75°) * (1/cos(75°)) = 13. 正切函数tan(A) = 对边/邻边根据上面得出的sin(75°)，cos(75°)，我们可以用其表示tan(75°)，即tan(A) = sin(A) / cos(A) = (sin(75°))/cos(75°)所以角度为75°的三角函数sin、cos、tan的值如下：sin(75°) = (sin(45° + 30°)) = sin(45°)cos(30°) + sin(30°)cos(45°) = (√2/2)(√3/2) + (1/2)(√2/2) = (√6 + √2)/4cos(75°) = (cos(45° + 30°)) = cos(45°)cos(30°) - sin(45°)sin(30°) = (√2/2)(√3/2) - (1/2)(√2/2) = (√6 - √2)/4tan(75°) = sin(75°)/cos(75°) = [(√6 + √2)/4] / [(√6 - √2)/4] = (√6 + √2) / (√6 - √2) = 2 + √3

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