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正交矩阵的逆矩阵等于转置矩阵吗

发表时间：2024-08-24 01:37:51 来源：网友投稿

正交矩阵定义是A的转置乘A等于单位阵E，即AT*A=E，等式两边同乘A的逆，就可以得到A的转置等于A的逆.如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。

正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，所以总是属于正规矩阵。扩展资料：在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。

1. 方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；2.方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；3.A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；4.A的列向量组也是正交单位向量组。

5. 正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。矩阵A的转置矩阵A^T等于A的逆矩阵A^-1证明：那么AA^T=AA^-1=E设A=(α1,α2,α3,...,αn)^T,其中αi为n维列向量,那么A^T=(α1,α2,α3,...,αn),α1^Tα1,α1^Tα2,α1^Tα3,...,α1^Tαnα2^Tα1,α2^Tα2,α2^Tα3,...,α2^Tαn那么AA^T=( ...............)=E,αn^Tα1,αn^Tα2,αn^Tα3,...,αn^Tαn那么||αi^Tαi||=1,||αi^Tαj||,i≠j,也就是说A的每一个列向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交同理设A=(α1,α2,α3,...,αn)时用A^TA=E可以证明A的每一个行向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交。这样的矩阵叫做正交矩阵,也就是说A必须是单位矩阵才满足A^T=A^-1。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，所以总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但是存在一种复正交矩阵，复正交矩阵不是酉矩阵。

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