10 洛必达法则无穷比无穷怎么证明

洛必达法则说的是“如果一个函数的极限是0/0或∞/∞形式，那么可以通过求导或分子分母同时除以某个函数，来求出这个极限的值”。

对于无穷比无穷的情况，可以应用这个法则来证明其极限值。假设有两个函数f(x)和g(x)都在x=a的某个邻域内可导，且在x=a处满足f(a) = g(a) = ∞，那么可以将f(x)和g(x)写成以下形式：f(x) = 1 / h(x)，其中h(x) = 1 / f(x) (x → a)g(x) = 1 / k(x)，其中k(x) = 1 / g(x) (x → a)因为f(a) = g(a) = ∞，所以h(a) = k(a) = 0。此时可以将函数f(x)和g(x)转化为如下形式：f(x) / g(x) = h(x) / k(x)因为h(x)和k(x)都在x=a的某个邻域内可导，所以根据洛必达法则：lim[h(x) / k(x)] = lim[h'(x) / k'(x)] (x → a)如果这个极限存在，那么f(x) / g(x)的极限也存在，且等于上式的极限。所以只需要证明lim[h'(x) / k'(x)]存在即可。将h(x)和k(x)的定义代入上式，可以得到：lim[h'(x) / k'(x)] = lim[-f'(x) / g'(x)] (x → a)如果这个极限存在，那么f(x) / g(x)的极限也存在，且等于上式的极限。所以只需要再证明lim[-f'(x) / g'(x)]存在即可。将f(x)和g(x)的定义代入上式，可以得到：lim[-f'(x) / g'(x)] = lim[-1 / [g(x) / f(x)]'] (x → a)因为g(x) / f(x)的极限是∞ / ∞的形式，所以可以再次应用洛必达法则，得到：lim[-1 / [g(x) / f(x)]'] = lim[-f(x) / g(x)] (x → a)所以可以得到：lim[f(x) / g(x)] = lim[-f(x) / g(x)] (x → a)如果这个极限存在，那么f(x) / g(x)的极限也存在，且等于上式的极限。由于-f(x) / g(x)的极限等于 -1，所以f(x) / g(x)的极限等于 -1。综上所述当f(x)和g(x)在x=a处满足f(a) = g(a) = ∞且均可导时，f(x) / g(x)的极限等于-1。所以证明了洛必达法则对于无穷比无穷的情况也成立。