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利用单调有界原理，证明极限

发表时间：2024-08-24 19:01:14 来源：网友投稿

单调有界原理是数学中的一个基本原理，用于证明数列的极限存在。

该原理描述了一个数列，如果在数值上单调递增或单调递减，并且有一个上限和一个下限，那么它必然有一个极限。下面是单调有界原理的证明：设数列 {a_n} 单调递增（或递减），且存在上界 M 和下界 m，即 m ≤ a_n ≤ M（对于所有的 n）。我们先证明存在一个实数 L，使得对于所有的 n，都有 |a_n - L| < ε。考虑数列 {a_n - L}，它仍然是单调递增（或递减），且它的值域是 [a_1 - L - ε, a_n - L - ε]（或 [a_n - L + ε, a_1 - L + ε]），所以存在一个实数 K，使得对于所有的 n > K，都有 |a_n - L| < ε。令 N = max(K, ⌊(M - ε) / ε⌋)，则对于所有的 n > N，都有 a_n - L < ε，即 L - ε < a_n < L + ε。所以存在实数 L，使得对于所有的 n，都有 |a_n - L| < ε，即极限存在。需要注意的是，单调有界原理只能用于证明数列极限的存在性，如何求极限需要使用其他方法。

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