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其余向量用最大无关组表示的意义

发表时间：2024-08-24 19:34:49 来源：网友投稿

最大无关组是一组向量里线性无关向量的一组向量，若向量有t个，而其最大最无关组的向量数量是r个,而r＜t。

这说明你能在这组t个向量里找到r个向量把其它向量都线性组合出来了。这r个向量就是这组向量的一组基。在t个向量里线性无关的向量可能有很多，比如找两个出来，可能有好几对都是无关的。但你不断地增加无关组的向量数量，若到r个还能无关，但超过r个以后，任何一个r+1的向量都是线性相关的了，这个r就是最大组的数量。在t里面可能有好几个r向量放到一起也都是无关的，这说明极大组组的组员数量是同样的(都是r)，但一个t里可以有好几个极大组(都有r个向量)。一组里任何一个极大组都可以把本组的其它向量给线性组合出来。这个r值也有另外一个学名，就是向量组(或矩阵)的秩。但有一点要分清楚，向量组的秩不是向量的维数，也不是向量所在的空间的维数。我们初步讨论极大组时一般不涉及向量的维数，但维数与秩是有关的，这个关系就是，一个向量组的秩(极大组的向量数量)的上限是向量的维数。如果一组n维向量的秩(极大组的向量个数)与其向量的维数相同，则称这组向量是满秩的，不仅这组里的向量可以被其中一个极大组线表出来，任何其它不在这组里的，但都是n维的向量都可以被这个极大组线表出来。如果r＜n，则这组向量只能张成一个秩为r的空间，它只是这个n维空间的一个子空间。如果我们把一组向量凑到一起，按一定顺序排号，我们就得到一个矩阵。如果这些向量是n维的，这就是一个n阶的矩阵。极大组的向量数量就是向量组的秩，也就是矩阵的秩。讲极大组到最后就能知道矩阵的秩的概念。在线性代数里，矩阵的秩在概念、计算和等式推演上都会用到。

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