模型应用二

为了便于计算和分析，书中采用了如图7.9所示的均质、各向同性承压二维地下水流作为计算的假设水文地质模型。模拟区长110m，宽110m，形状为正方形。含水层水平如图7.10所示，底板标高为0m。顶板标高为30m。含水层左右边界为隔水边界，上下边界为定水头边界，边界水位标高均值为100m，初始水位标高均值为100m。

根据工程要求，需要对该含水层的中心位置节点1、2、3、4、5、6、7、8、9所围成的正方形区域进行疏水降压，且水位降低值要≥10m。优化设计的目标是如何设计疏干孔和配置疏干水量才能在满足疏干条件下而使最终的稳定疏干总水量最小。该问题用最优化管理模型可表示为：

地下水系统随机模拟与管理

式中：［A］——响应系数矩阵；

［Q］——水量决策列向量；

［S］——水位疏降约束要求列向量；

对该地下水管理模型采用分布参数地下水管理模型，并利用有限单元法计算响应系数。计算剖分网格如图7.9所示。剖分总节点为157个，总单元数为268个。

根据上述剖分情况及管理问题的要求，设水位控制点为节点1，2，3，4，5，6，7，8，9。即1～9号节点水位疏降值≥10m。并假设节点10，11，12，13，14，15，16，17，18，为可供选择的疏干井位。这样地下水管理模型（7.2）可具体地表示为：

地下水系统随机模拟与管理

图7.9计算模型及剖分图

图7.10计算模型A—A′剖面图

7.2.1假设模型的随机性计算讨论

为了讨论不同水文地质参数，不同的约束条件置信度水平要求对管理结果的影响，本实例就假设问题的机会约束规划模型分别利用泰勒展开解法和人工遗传算法进行了计算分析。

7.2.1.1Taylor展开求解方法

（1）假设模型中渗透系数为服从均匀分布的随机变量，且渗透系数的均值为5m/d，其他水文地质参数为确定性变量，即μ=5×10-4，H0（x，y，0）=100m，Hb（x，y，t）|Γ1=100m，渗透系数的方差var（K）分别为1.333，0.750，0.333和0.083。在每种方差条件下，又分别考虑约束条件的置信水平为α=1.0，α=0.95，α=0.9，α=0.85和α=0.85种情况。通过20种方案的计算讨论，可得渗透系数K的方差var（K）、约束条件的置信度水平α、总疏水量及其分配之间的相互关系如表7.3所示。表7.3的计算结果如图7.11所示。由图7.11明显可见：在相同的约束条件置信度水平α下，随着var（K）的增加，其总疏水量呈增加趋势；当var（K）一定时，随置信度水平α的增加，总疏水量亦呈增大趋势。

表7.3Taylor展开法对渗透系数（K）的随机性计算结果表

图7.11渗透系数不确定信水平、模型可靠性及总疏水量关系图

（2）假设模型中的弹性给水度为服从均匀分布的随机变量，且其均值为5×10-4，其他水文地质参数均为确定性变量，即Kx=Ky=5m/d，H0（x，y，0）=100m，Hb（x，y，t）100m。分别就弹性给水度的方差var（μ）为0.533×10-7，0.3×10-7，0.133×10-7，0.33×10-8，约束条件的置信度水平分别为1.0，0.95，0.90，0.85，0.80讨论计算了弹性给水度随机性与管理结果之间的关系。表7.4为var（μ）、α、总疏水量及配置之间的关系。图7.12为表7.4中计算结果的图形表示。由图7.12可见：在相同的约束条件置信度水平α下，随着弹性给水度方差var（μ）增加，总疏水量呈增大趋势，但其增加的幅度非常小。在同样的var（μ）条件下，随着约束条件置信度水平α的增加，总疏水量亦呈增加趋势，且这种增加的幅度亦非常小。

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图7.12给水度不确定信水平、模型可靠性及总疏水量关系图

（3）假设一类边界条件上的水位为服从均匀分布的随机变量，且其均值为100m，其他水文地质参数均为确定量，即Kx=Ky=5m/d，μ=5×10-4，H0（x，y，0）=100m。分别就一类边界水位的方差var（Hb）=0.0833，0.0533，0.030，0.0133，约束条件的置信度水平要求为1.0，0.95，0.90，0.85，0.80进行了随机管理模型的计算讨论，表7.5为各种组合条件下的计算结果。图7.13为其计算结果的图形表示。由图7.13可见，在相同的置信度α下，随着方差var（Hb）的增加，总疏水量呈明显增加趋势。当var（Hb）一定时，随着约束条件置信度水平的提高，其总疏水量亦呈明显的增加趋势。且在方差值不大的情况下，总疏水量总体的变化幅度较大。

表7.4Taylor展开法对弹性给水度（μ）的随机性计算结果表

图7.13一类边界水位不确定信水平、模型可靠性及总疏水量关系图

表7.5Taylor展开法对一类边界水位（Hb）的随机性计算结果表

（4）假设初始水位H0（x，y，0）为服从均匀分布的随机变量，且其均值为100m，而其他水文地质参数均为确定性变量，即Kx=Ky=5m/d，μ=5×10-4文中分别就初始水头的方差var（H0）为8.33，5.33，3.00和1.333，约束条件的置信度水平为1.0，0.95，0.90，0.85，0.8进行了随机管理模型计算讨论，表7.6为多种组合条件下的计算结果。图7.14为计算结果的图形表示。由表7.6和图7.14可见初始水头的方差并不影响总疏干水量。所以初始水位的高低并不影响最后稳定的疏干水量。

7.2.1.2人工遗传算法

对于同样的假设模型和问题，与Taylor展开法同样的计算假设条件，采用人工遗传算法进行了管理模型的优化求解。为了减少遗传算法的工作量，初始解群体由1000个随机解个体中依其适应度函数值的优劣性选出；并设基本进化运算参数为：

表7.6Taylor展开法对初始水头（H0）的随机性计算结果表

图7.14初始水位不确定信水平、模型可靠性及总疏水量关系图

群体规模m=30

交叉计算概率Pc=0.7

变异计算概率Pm=0.1

进化代数n=60

其计算结果见表7.7至表7.10及图7.15至图7.18。

表7.7人工遗传算法对渗透系数（K）的随机性计算结果

图7.15渗透系数不确定信水平、模型可靠性及总疏水量关系图

表7.8人工遗传算法对弹性给水度（μ）的随机性计算结果

图7.16给水度不确定信水平、模型可靠性及总疏水量关系图

表7.9人工遗传算法对一类边界条件（Hb）的随机性计算结果

图7.17一类边界水位不确定信水平、模型可靠性及总疏水量关系图

表7.10人工遗传算法对初始水头（H0）的随机性计算结果表

图7.18初始水位不确定信水平、模型可靠性及总疏水量关系图

7.2.1.3随机变量联合分布的Monte-Carlo计算方法

前面分别利用Taylor展开方法和人工遗传方法就单个随机水文地质参数的情况进行了计算讨论。但我们知道我们所遇到的实际问题往往是多个随机变量并存，且不同随机变量的方差也不尽相同，其随机变量的随机分布概型也各不相同。本节分别就含水层的渗透系数（K），弹性给水度（μ），初始水头分布（H0）及一类边界水头值（Hb）为服从均匀分布的随机变量和正态分布的随机变量进行了联合分布计算讨论，并假设不同随机变量之间相互独立。随机管理模型的响应系数均值和方差利用Monte-carlo随机有限元法求解。经过计算分析，选择的随机参数样本数为300。

（1）各个参数服从均匀分布的联合分布计算

假设各随机水文地质参数服从均匀分布，且不同水文地质参数之间相互独立。各随机参数的均值分别为：

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在上述均值条件下，分别就各随机参数的不同方差和同一方差条件下的不同约束条件置信度水平进行了计算。

当计算方差为：

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计算结果见表7.11和图7.19。

表7.11独立均匀分布参数联合分布计算结果表

当计算方差为：

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图7.19总疏水量与约束置信度水平相关曲线

计算结果见表7.12和图7.20。

表7.12独立均匀分布参数联合分布计算结果

图7.20总疏水量与约束置信度水平相关曲线

当计算方差为：

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计算结果见表7.13和图7.21。

表7.13独立均匀分布参数联合分布计算结果

图7.21总疏水量与约束置信度水平相关曲线

当计算方差为：

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计算结果见表7.14和图7.22。

表7.14独立均匀分布参数联合分布计算结果

（2）各个随机变量服从N（μ，σ2）正态分布的联合分布计算

为了研究随机变量的不同分布形式对随机地下水管理模型结果的影响，在计算了随机变量服从均匀联合分布条件后，书中又假设每个随机变量为服从N（μ，σ2）正态分布情况，并假设其均值分别为：

图7.22总疏水量与约束置信度水平相关曲线

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并就不同参数方差σ2和不同约束条件置信度水平α进行了计算。表7.15至表7.18为不同方差和α组合条件下的计算成果表。

表7.15计算的随机参数分布为：

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计算结果如下：

表7.15独立正态联合分布计算结果表

表7.16计算的随机参数分布为：

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计算结果如下：

表7.16独立正态联合分布计算结果表

表7.17计算的随机参数分布为：

地下水系统随机模拟与管理

计算结果如下：

表7.17独立正态联合分布计算结果表

表7.18计算的随机参数分布为：

地下水系统随机模拟与管理

计算结果如下：

表7.18独立正态联合分布计算结果表

由以上表中计算结果可知，随机变量为正态分布时，优化模型的计算结果与随机变量为均匀分布时所呈现的规律完全相似。所以影响管理结果的主要因素是随机变量的种类和方差的大小，而与其具体分布形式的关系并不很大。

7.2.2计算结果的讨论与分析

由前述各节计算结果可见由于水文地质参数的随机性，使得地下水管理模型的管理结果变化很大，且不同的水文地质参数，不同的参数不确定性水平（方差），不同的管理结果可靠性要求对管理结果的影响是不同的。总体来看参数的随机性与管理结果之间有如下关系。

（1）随着随机参数不确定性水平的增加，在相同疏干约束条件下，总疏干水量呈增大规律。

（2）渗透系数K和一类边界条件Hb的随机性对管理结果的影响最明显。弹性给水度的随机性对管理结果的影响很小。

（3）含水层的初始水位只影响疏干时间，而对最终的稳定疏干水量没有影响。

（4）如果随机参数的方差越大，要达到同样的疏干水平和疏干置信度所需的疏干水量增大。

（5）对于同样的参数不确定性水平（即同样的var（·）），则随着对疏干可靠程度（约束条件成立的置信度水平α）要求的增加，疏干水量明显增加。而且这种增加并非与α成线性关系。尤其要使约束条件成立的概率为100%时，其总疏干水量增加幅度很大。

从下面的分析中可见，我们可以得知这些变化规律完全服从地下水运动的基本规律。由达西公式得经过断面ω的流量公式为：

地下水系统随机模拟与管理

式中：Q——抽水量；

K——含水层渗透系数；

Hb——边界水位标高；

Hw——井中水位标高；

d——疏水井到边界距离；

ω——过水断面积。

由该式可见当d、ω和Hw（由疏干约束条件所定）固定时，对Q影响最大的变量就是Hb和K，即边界水位和渗透系数。这与本文计算结果所反映的规律完全一致。

由地下水随机管理模型的约束条件表达式

地下水系统随机模拟与管理

可知如果水文地质参数的方差增加，必然导致管理模型中响应系数方差r2（i，j，k）的增加，要使约束条件中不等式成立，必然要求决策变量Q的增加（因Φ-1[α（j，k）]＜0）。这也说明随着随机参数不确定性水平（方差）的增加，要保证同样的疏干深度，必然引起总疏水量的增加。由上式同样可知，在其他参数一定的条件下，随着约束条件满足的置信度水平α的提高，则小概率事件发生的概率1-α变小，从而使Φ-1（α）的减小，要使不等式成立，定会产生疏水量Q的增加。这里要注意Φ-1（α）与α之间的关系。由此可见分析结论与计算结果所反映的规律完全一致。

对随机地下水管理模型及其计算结果的分析表明：当存在随机水文地质参数时，管理模型的决策结果与参数的不确定性水平（方差大小）及对管理结果的可靠性要求水平（α）之间存在着密切关系。这对制定风险决策具有重要意义。

为了进一步分析假设模型计算结果，我们将不同条件下的决策结果代入地下水疏干模型进行了不同随机参数的疏干效果检验。计算结果见表7.19至表7.22。

表7.19考虑渗透系数服从[3，7]均匀分布，var=1.333，E（K）=5m/d约束条件置信水平α=0.9条件下疏干计算结果

表7.20考虑第一类边界条件为服从[99.5，100.5]均匀分布，var=0.0833E（Hb）=100，约束条件置信水平α=0.9条件下疏干计算结果

表7.21考虑给水度服从[1×10-4，1×10-5]均匀分布，var=0.533×10-7，-E（μ）=5×10-4，约束条件置信水平α=0.9条件下的疏干计算结果

表7.22考虑初始水位为服从[95，105]均匀分布，E（H0）=100，var（H0）8.33，约束条件置信水平α=0.9条件下疏干计算结果

由疏干模拟计算结果可见：疏干结果较好地反映了客观情况，在约束条件置信度水平要求为0.9时，当随机参数出现极为不利于疏干的小概率事件时，实际疏干降深一般都不能满足疏干要求。当随机参数出现在其均值附近时，实际疏干降深基本能够满足疏干要求。当随机参数出现最有利于疏干的小概率事件时，实际疏干降深都大于疏干要求。