3次方数列求和推导
发表时间：2024-10-03 23:36:24
来源：网友投稿
三次方数列求和公式为：$S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$。推导过程如下：
首先数列的第n项为 $a_n = n^3$，求和得 $S_n = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3$。
接着对数列进行变形，得 $S_n = 1^3 + (1+1)^3 + (1+2)^3 + ... + (1+n)^3$。
然后利用立方差公式 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$，将 $S_n$ 中的每一项展开，得 $S_n = (1+3+3+1) + (1+6+12+6+1) + ... + (1+3n+3n^2+n^3)$。
最后对展开后的式子进行化简，得 $S_n = \frac{n(n+1)}{2} \times \frac{(n+1)(n+2)}{2}$，即 $S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$。
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