正项级数an收敛an^2收敛吗
发表时间：2024-10-11 08:16:51
来源：网友投稿
正项级数( \sum_{n=1}^{\infty}an )收敛，意味着随着项数的增加，其和趋向于一个有限值。但是这并不意味着其平方级数( \sum{n=1}^{\infty}a_n^2 )也一定收敛。考虑一个简单的例子，设( an = \frac{1}{n} )，则级数( \sum{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} )是调和级数，它是发散的。但是( an^2 = \frac{1}{n^2} )，而级数( \sum{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} )是收敛的（根据巴塞尔问题的结果）。所以正项级数( \sum_{n=1}^{\infty}an )收敛，并不能保证其平方级数( \sum{n=1}^{\infty}a_n^2 )也收敛。
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