简述罗尔定理的内容及证明
发表时间：2024-10-11 13:27:32
来源：网友投稿
罗尔定理是微积分中的一个基本定理，它描述了函数在闭区间上的连续性、可导性和端点函数值相等的关系。定理内容为：如果函数( f(x) )在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，并且在两端点的函数值相等，即( f(a) = f(b) )，那么在开区间(a, b)内至少存在一点( c )，使得( f'(c) = 0 )。
证明如下：首先构造辅助函数( F(x) = f(x) - f(a) )，由于( f(a) = f(b) )，所以( F(b) = 0 )。根据罗尔定理的假设，( F(x) )在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导。根据罗尔定理，存在( c \in (a, b) )，使得( F'(c) = 0 )。由于( F'(x) = f'(x) )，所以( f'(c) = 0 )，证毕。
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