椭圆与直线的最短距离怎么求
椭圆与直线的最短距离可以通过以下步骤求解：
首先设椭圆的方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，直线的方程为 $y=kx+m$。
然后将直线的方程代入椭圆的方程中，得到关于 $x$ 的一元二次方程：$(b^2+a^2k^2)x^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b^2)=0$。
接下来求解该一元二次方程的判别式 $\Delta=4a^2k^2m^2-4a^2(a^2k^2-b^2)$。
当 $\Delta\geq0$ 时，方程有两个实根，分别对应直线与椭圆的两个交点。当 $\Delta<0$ 时，直线与椭圆不相交。
如果 $\Delta\geq0$，则将方程的两个根分别记为 $x_1$ 和 $x_2$。根据韦达定理，有 $x_1+x_2=-\frac{2a^2km}{b^2+a^2k^2}$ 和 $x_1x_2=\frac{a^2(m^2-b^2)}{b^2+a^2k^2}$。
最后根据点到直线的距离公式，可得到椭圆上任意一点 $(x_1,y_1)$ 到直线的距离 $d=\frac{|kx_1-y_1+m|}{\sqrt{k^2+1}}$。
将 $x_1$ 和 $y_1$ 分别用 $x_1=\frac{a^2k^2-b^2-m^2}{b^2+a^2k^2}$ 和 $y_1=\frac{b^2k^2x_1+amx_1+bm}{b^2+a^2k^2}$ 代入上式，化简后得到最短距离的表达式。
通过以上步骤，即可求解椭圆与直线的最短距离。
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