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加绝对值后可以等价无穷小吗

发表时间：2024-10-13 07:25:50 来源：网友投稿

在数学中加绝对值后的无穷小量并不一定等价。等价无穷小是指两个无穷小量在极限运算中可以互相替换，但加上绝对值后，原本的等价关系可能不复存在。例如假设有( f(x) = x )和( g(x) = \sin x )，当( x )趋向于0时，( f(x) )和( g(x) )都是无穷小量，且( \lim{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 )，即它们是等价无穷小。但如果考虑( |f(x)| )和( |g(x)| )，即( |x| )和( |\sin x| )，在( x )趋向于0时，( \lim{x \to 0} \frac{|x|}{|\sin x|} = 1 )仍然成立，所以它们也是等价无穷小。但是如果改变( g(x) )的形式，比如( g(x) = \frac{1}{x} )，则即使加上绝对值，( |x| )和( |\frac{1}{x}| )也不再是等价无穷小，因为它们的比值在( x )趋向于0时的极限是不存在的。所以加绝对值后是否等价无穷小取决于具体函数的形式和极限的性质。

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