如何证明指数换底公式
发表时间：2024-10-13 12:36:58
来源：网友投稿
指数换底公式可以通过对数换底公式来证明。首先假设有两个实数(a)、(b)和(c)，其中(a)和(b)均不为1，且(c)是任意实数。根据对数换底公式，我们有：
[ \log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}} ]
接下来我们将这个式子两边同时取(c)的幂，即：
[ a^{\log_c{b}} = \left(\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}\right)^c ]
根据指数和对数的性质，左边的(a^{\log_c{b}})可以简化为(b)，而右边的(\left(\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}\right)^c)可以进一步简化为(\frac{b^c}{a^c})。所以我们得到：
[ b = \frac{b^c}{a^c} ]
这个等式就证明了指数换底公式，即：
[ a^{\log_a{b}} = b ]
这个公式说明了在任意底数(a)下，(a)的(\log_a{b})次幂等于(b)。
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