数列极限四则运算法则的证明
发表时间：2024-10-14 19:37:32
来源：网友投稿
数列极限的四则运算法则可以通过定义来证明。首先设数列(x_n)和(y_n)的极限分别是(A)和(B)。根据极限的定义，对于任意正数(\epsilon)，存在正整数(N_1)和(N_2)，使得当(n > N_1)时，(|x_n - A| < \frac{\epsilon}{2})，当(n > N_2)时，(|y_n - B| < \frac{\epsilon}{2})。取(N = \max(N_1, N_2))，则当(n > N)时，有(|(x_n + y_n) - (A + B)| = |(x_n - A) + (y_n - B)| \leq |x_n - A| + |y_n - B| < \epsilon)。同理对于乘法，有(|(x_n \cdot y_n) - (A \cdot B)| < \epsilon)。这表明数列(x_n + y_n)和(x_n \cdot y_n)的极限分别是(A + B)和(A \cdot B)。对于除法如果(B \neq 0)，有(|(x_n \div y_n) - (A \div B)| = |(x_n \cdot B) - (A \cdot y_n)| / |B| < \epsilon)，这也证明了除法运算法则。
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