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棣莫弗公式的推导

发表时间：2024-10-18 01:40:03 来源：网友投稿

棣莫弗公式也称为德莫弗公式，是复数运算中的一个重要公式。它表达了复数在极坐标形式下的幂运算。假设有一个复数 ( z = r(\cos \theta + i\sin \theta) )，其中 ( r ) 是复数的模，( \theta ) 是复数的幅角。

根据棣莫弗公式，当我们将这个复数 ( z ) 提到 ( n ) 次幂时，可以得到：

[ z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) ]

这里的推导基于三角函数的幂次运算法则。首先我们知道复数可以表示为极坐标形式 ( z = re^{i\theta} )，其中 ( e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta )。当对这个表达式求 ( n ) 次幂时，利用指数的性质 ( (e^{i\theta})^n = e^{in\theta} )，得到：

[ z^n = (re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta} = r^n (\cos n\theta + i\sin n\theta) ]

这就是棣莫弗公式的推导过程，它将复数的幂次运算转化为三角函数的幂次运算，简化了复数幂的计算。

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