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杨氏不等式三种证明

发表时间：2024-10-18 04:42:14 来源：网友投稿

杨氏不等式即算术平均数与几何平均数的不等式，有三种常见的证明方法。

统计方法：设有一组正数( x_1, x_2, ..., x_n )，它们的算术平均数为 ( \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} )，几何平均数为 ( \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n} )。通过构造一个关于 ( x ) 的二次函数 ( f(x) = (x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n) )，证明其判别式 ( \Delta = b^2-4ac \leq 0 )，从而得出 ( x_1x_2...x_n \geq (\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n})^n )。

矩阵方法：将 ( x_1, x_2, ..., xn ) 作为列向量，构造一个 ( n \times n ) 的实对称矩阵 ( A )，其中 ( A{ij} = \sqrt{x_i x_j} )。由实对称矩阵的性质，( A ) 可对角化，对角线上的元素即为 ( xi ) 的几何平均数。利用矩阵的性质，可以证明 ( \text{tr}(A) = \sum{i=1}^n x_i )，即算术平均数。

拉格朗日乘数法：构造拉格朗日函数 ( L = \sum_{i=1}^n \ln(xi) - \lambda(\sum{i=1}^n x_i - n\bar{x}) )，其中 ( \bar{x} ) 为 ( x_1, x_2, ..., x_n ) 的算术平均数。对 ( x_i ) 和 ( \lambda ) 分别求偏导，得到 ( \frac{\partial L}{\partial x_i} = \frac{1}{x_i} - \frac{\lambda}{n} = 0 )。通过求解该方程组，可以得出 ( xi = \bar{x} ) 时，( L ) 取得最小值，即 ( \sum{i=1}^n x_i \geq n\bar{x} )。

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