举例说明数学归纳法的合理性
发表时间：2024-10-18 05:00:05
来源：网友投稿
数学归纳法是一种证明数学命题的方法，它分为两个步骤。首先证明当n=1时命题成立。其次假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。举例来说我们要证明对于任意自然数n，命题“2^n > n^2”成立。
首先当n=1时，2^1=2，1^2=1，显然2>1，命题成立。
接下来假设当n=k时命题成立，即2^k > k^2。我们要证明当n=k+1时命题也成立，即2^(k+1) > (k+1)^2。
由归纳假设2^k > k^2，两边同时乘以2得到2^(k+1) > 2k^2。
现在我们需要证明2k^2 > (k+1)^2，即2k^2 > k^2 + 2k + 1。
移项得k^2 - 2k - 1 < 0。
解这个不等式，得到(k-1)^2 < 2。
因为k是自然数，所以(k-1)^2是一个完全平方数，它不可能小于2。所以k^2 - 2k - 1 < 0恒成立。
所以2k^2 > (k+1)^2，从而证明了2^(k+1) > (k+1)^2。
通过数学归纳法，我们证明了对于任意自然数n，命题“2^n > n^2”成立，从而体现了数学归纳法的合理性。
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