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微分方程的三个公式

发表时间：2024-10-18 05:06:45 来源：网友投稿

微分方程是描述物理现象变化规律的数学模型。以下是微分方程的三个基本公式：

分离变量法：若有一个微分方程可以写成 ( f(x)dx = g(y)dy ) 的形式，则可以两边积分，得到 ( \int f(x)dx = \int g(y)dy )，从而求解出方程的解。

线性微分方程：形如 ( y' + P(x)y = Q(x) ) 的方程，可以通过求解 ( y = e^{-\int P(x)dx} ) 和 ( y = \int e^{-\int P(x)dx}Q(x)dx ) 来得到通解。

常系数二阶线性微分方程：形如 ( y'' + Py' + Qy = 0 ) 的方程，首先解出特征方程 ( r^2 + Pr + Q = 0 ) 的根，根据根的情况，求解方程的通解。如果根是实数且互不相等，则解为 ( y = C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x} )；如果根是复数，则解为 ( y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) )；如果根是重根，则解为 ( y = (C_1 + C_2x)e^{\alpha x} )。

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