用数学归纳法证明均值不等式的详细步骤

均值不等式是指对于任意非负实数( a_1, a_2, \ldots, a_n )，都有以下不等式成立：

[ \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n} ]

证明如下：

基础步骤： 首先验证当( n = 1 )时，不等式成立。显然对于单个数( a_1 )，有( \frac{a_1}{1} = a_1 \geq \sqrt[1]{a_1} = a_1 )。

归纳步骤： 假设当( n = k )时不等式成立，即：

[ \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_k}{k} \geq \sqrt[k]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_k} ]

现在需要证明当( n = k + 1 )时，不等式也成立。考虑( k + 1 )个数的和：

[ \frac{a_1 + a_2 + \ldots + ak + a{k+1}}{k+1} ]

利用归纳假设，可以将其拆分为两部分：

[ \frac{a_1 + a_2 + \ldots + ak}{k+1} + \frac{a{k+1}}{k+1} ]

根据归纳假设，第一部分大于等于( \sqrt[k]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot ak} )的( \frac{1}{k+1} )倍，而第二部分是( a{k+1} )的( \frac{1}{k+1} )倍。所以总和大于等于：

[ \frac{1}{k+1} \sqrt[k]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot ak} + \frac{1}{k+1} a{k+1} ]

由于( \frac{1}{k+1} )是正数，所以：

[ \frac{1}{k+1} \sqrt[k]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot ak} + \frac{1}{k+1} a{k+1} \geq \frac{1}{k+1} \sqrt[k+1]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot ak \cdot a{k+1}} ]

这就是我们要证明的不等式。所以根据数学归纳法，均值不等式对所有正整数( n )都成立。