复合函数求偏导

复合函数求偏导是微积分中的一个重要概念。假设有一个复合函数 ( z = f(u, v) )，其中 ( u ) 和 ( v ) 是两个函数 ( u = g(x, y) ) 和 ( v = h(x, y) ) 的复合。要求 ( z ) 对 ( x ) 和 ( y ) 的偏导数，我们可以使用链式法则。

首先对 ( z ) 求关于 ( u ) 的偏导数，得到 ( \frac{\partial z}{\partial u} )，然后对 ( u ) 求关于 ( x ) 的偏导数，得到 ( \frac{\partial u}{\partial x} )，最后将两者相乘，得到 ( \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} )。同理求 ( z ) 对 ( y ) 的偏导数。

如果 ( u = g(x, y) = x^2 + y^2 ) 和 ( v = h(x, y) = 2xy )，而 ( z = f(u, v) = \sin(u) + \cos(v) )，那么：

[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial u}(\sin(u) + \cos(v)) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial v}(\sin(u) + \cos(v)) \cdot \frac{\partial v}{\partial x} ]

[ = \cos(u) \cdot 2x - \sin(v) \cdot 0 = 2x \cos(u) ]

[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial u}(\sin(u) + \cos(v)) \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial v}(\sin(u) + \cos(v)) \cdot \frac{\partial v}{\partial y} ]

[ = \cos(u) \cdot 2y - \sin(v) \cdot 2y = 2y(\cos(u) - \sin(v)) ]

通过这种方法，我们可以计算复合函数对任意变量的偏导数。