对数函数的导数
发表时间：2024-10-25 09:03:00
来源：网友投稿
对数函数的导数可以通过定义导数的方法进行计算。以自然对数函数为例，设 ( y = \ln x )，其导数 ( y' ) 为 ( \frac{1}{x} )。这是因为根据导数的定义，( y' = \lim{h \to 0} \frac{\ln(x+h) - \ln x}{h} )。通过对数函数的性质，( \ln(x+h) - \ln x = \ln \frac{x+h}{x} )，进而化简为 ( \ln(1 + \frac{h}{x}) )。当 ( h ) 趋近于0时，( \ln(1 + \frac{h}{x}) ) 趋近于 ( \frac{h}{x} )，所以 ( y' = \lim{h \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{h}{x} = \frac{1}{x} )。这表明对数函数的导数等于其底数的倒数。对于其他形式的对数函数，如 ( y = \log_a x )，其导数为 ( y' = \frac{1}{x \ln a} )，其中 ( \ln a ) 是以自然对数底数 ( e ) 的 ( a ) 的对数。
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