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积分方法证明圆面积公式

发表时间：2024-10-26 11:45:12 来源：网友投稿

要证明圆的面积公式 ( A = \pi r^2 )，我们可以使用积分方法。首先将圆分成无数个微小的扇形，每个扇形的面积近似为一个三角形的面积。每个三角形的底是圆的弧长，高是圆的半径 ( r )。弧长可以表示为 ( \theta r )，其中 ( \theta ) 是弧对应的圆心角（以弧度为单位）。

将整个圆分成无数个这样的三角形，每个三角形的面积是 ( \frac{1}{2} \theta r^2 )。对所有这些三角形的面积进行积分，即从 ( 0 ) 到 ( 2\pi )（一个完整圆的圆心角范围）积分，得到： [ A = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} \theta r^2 d\theta ]

积分后得到： [ A = \frac{1}{2} r^2 \int_{0}^{2\pi} \theta d\theta ]

计算积分 ( \int_{0}^{2\pi} \theta d\theta ) 得到 ( \frac{\theta^2}{2} ) 在 ( 0 ) 到 ( 2\pi ) 的积分结果是 ( \pi^2 )。

所以圆的面积 ( A ) 为： [ A = \frac{1}{2} r^2 \cdot \pi^2 = \pi r^2 ]

这就是圆的面积公式。

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