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limx→0xsin1/x的极限是多少

发表时间：2024-10-27 20:46:34 来源：网友投稿

这个极限问题可以通过洛必达法则来解决。首先我们注意到当 ( x ) 趋近于 0 时，( \frac{1}{x} ) 趋近于无穷大，所以 ( \sin\left(\frac{1}{x}\right) ) 在 ( x ) 接近 0 时会在 -1 到 1 之间振荡。为了使用洛必达法则，我们考虑函数 ( f(x) = x\sin\left(\frac{1}{x}\right) )。我们需要计算 ( \lim_{x \to 0} f(x) )，但这是一个 ( \frac{0}{0} ) 形式的不定式。

根据洛必达法则，我们可以计算 ( f(x) ) 的导数 ( f'(x) )，然后求 ( \lim_{x \to 0} f'(x) )。计算 ( f'(x) ) 得到 ( f'(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x}\cos\left(\frac{1}{x}\right) )。再次使用洛必达法则，我们需要对 ( f'(x) ) 进行求导，得到 ( f''(x) = -\frac{1}{x^2}\cos\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x^3}\sin\left(\frac{1}{x}\right) )。

当 ( x ) 趋近于 0 时，( \cos\left(\frac{1}{x}\right) ) 和 ( \sin\left(\frac{1}{x}\right) ) 都会在 -1 和 1 之间振荡，但是 ( \frac{1}{x^2} ) 和 ( \frac{1}{x^3} ) 会趋向于无穷大。所以( f''(x) ) 在 ( x ) 趋近于 0 时的极限是 0。

由此我们得出 ( \lim{x \to 0} f'(x) = 0 )。因为 ( f'(x) ) 的极限是 0，根据洛必达法则，( \lim{x \to 0} f(x) ) 也必须等于 0。所以( \lim_{x \to 0} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 )。

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