分圆多项式在Z上不可约怎么证明
发表时间：2024-11-11 03:48:46
来源：网友投稿
分圆多项式在Z上不可约的证明，首先需要理解分圆多项式的定义。分圆多项式是指在复数域上能够生成某个圆的根的次数为n的多项式。如果这个多项式在整数环Z上不可约，即它不能分解为两个次数较低的多项式相乘，那么证明方法如下：
首先根据数论中的费马小定理，如果p是一个素数，且a是任意整数，那么a的p次幂等于a模p的余数。这个定理可以用来构造一个分圆多项式。
假设我们需要证明的圆的半径是r，那么分圆多项式就是(x^n - r)，其中n是圆的周长与r的最大公约数的乘积。如果这个多项式在Z上不可约，那么它没有整数根。
接下来利用费马小定理，如果存在一个整数x使得(x^n - r = 0)，那么x^n必须等于r模p的余数。但是如果r不能被p整除，那么x^n模p的余数不会等于r模p的余数，这与假设矛盾。所以(x^n - r)在Z上没有整数根。
由于在Z上没有整数根，根据多项式理论，分圆多项式在Z上不可约。这是因为如果有两个次数较低的多项式相乘得到它，那么至少有一个多项式在Z上有整数根，这与前面的论证相矛盾。所以我们证明了分圆多项式在Z上不可约。
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