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怎样用空间向量证明两直线平行的判定定理

发表时间：2024-11-11 11:12:29 来源：网友投稿

要证明两直线平行的空间向量判定定理，我们可以这样操作：

首先设两条直线为L1和L2，它们的方向向量分别为$$ \vec{a} $$和$$ \vec{b} $$。若这两条直线平行，那么它们的方向向量必定成比例，即存在非零实数k，使得$$ \vec{a} = k\vec{b} $$。

接下来我们考虑L1上的任意一点P和L2上的任意一点Q。从P点出发，沿$$ \vec{a} $$方向作向量$$ \vec{v} $$，从Q点出发，沿$$ \vec{b} $$方向作向量$$ \vec{w} $$。由于$$ \vec{a} = k\vec{b} $$，则$$ \vec{v} $$和$$ \vec{w} $$也必定成比例，即$$ \vec{v} = k\vec{w} $$。

现在我们取一个平面α，它包含L1上的点P和L2上的点Q，且垂直于$$ \vec{a} $$和$$ \vec{b} $$的公倍数方向。由于$$ \vec{v} $$和$$ \vec{w} $$都与这个平面垂直，它们必然在平面α上。这意味着向量$$ \vec{v} $$和$$ \vec{w} $$共面。

由于$$ \vec{v} $$和$$ \vec{w} $$都分别与L1和L2上的点P和Q相关，且共面，所以L1和L2也必然共面。而在空间中如果两条直线共面且不重合，那么这两条直线必定平行。所以我们证明了如果两条直线的方向向量成比例，则这两条直线平行。

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