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光滑曲面的面积推导

发表时间：2024-11-11 17:16:43 来源：网友投稿

光滑曲面的面积可以通过曲面的参数方程来推导。假设曲面由参数方程 ( x = x(u,v) )，( y = y(u,v) )，( z = z(u,v) ) 描述，其中 ( u ) 和 ( v ) 是参数。曲面上任意一点的切向量可以表示为 ( \mathbf{r}_u ) 和 ( \mathbf{r}_v )，分别对应参数 ( u ) 和 ( v ) 的方向导数。

曲面的面积可以通过切向量的叉积来计算。首先计算切向量 ( \mathbf{r}_u ) 和 ( \mathbf{r}_v ) 的叉积 ( \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v )，其模长即为曲面在该点处的法向量 ( \mathbf{n} ) 的模长。然后曲面面积 ( S ) 的公式为：

[ S = \iint_D |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| \, du \, dv ]

其中 ( D ) 是参数 ( u ) 和 ( v ) 的定义域。这个积分表示曲面在参数空间上的投影区域的面积，乘以切向量叉积的模长，从而得到整个曲面的面积。

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