如何证明柯西施瓦茨不等式
发表时间：2024-11-14 13:59:06
来源：网友投稿
柯西-施瓦茨不等式是数学中的一个重要不等式，证明如下：
设有两个向量a和b，它们的分量分别为a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn。根据柯西-施瓦茨不等式，有：
(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)
证明如下：
首先根据平方的展开公式，我们有：
(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 = (a1b1)^2 + (a2b2)^2 + ... + (anbn)^2 + 2(a1b1 a2b2 + a1b1 a3b3 + ... + an-1bn-1 * anbn)
接着根据均值不等式，我们有：
(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2
将上述两个不等式结合，得到：
(a1b1)^2 + (a2b2)^2 + ... + (anbn)^2 + 2(a1b1 a2b2 + a1b1 a3b3 + ... + an-1bn-1 * anbn) ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)
这就完成了柯西-施瓦茨不等式的证明。
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