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判断级数是否收敛，绝对收敛还是条件收敛

发表时间：2024-11-30 23:33:19 来源：网友投稿

要判断一个级数是否收敛，我们需要考虑它的通项极限是否为0。如果通项极限不为0，那么级数发散；如果通项极限为0，那么我们还需要进一步分析。对于正项级数，如果通项的极限为0，并且级数的前n项和的极限存在，那么这个级数收敛。

绝对收敛是指级数的每一项取绝对值后，新的级数仍然收敛。如果原级数的通项的绝对值趋于0，并且级数的绝对值的前n项和的极限存在，则原级数绝对收敛。如果原级数的通项趋于0，但级数的绝对值级数发散，则原级数条件收敛。

举个例子考虑级数 $\sum{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}$。这个级数的通项的极限为0，所以我们需要判断它是否绝对收敛或条件收敛。计算其绝对值的级数 $\sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 是一个调和级数，它是发散的。所以原级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}$ 条件收敛。

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