二项式系数之和怎么推导
发表时间：2024-12-01 00:06:16
来源：网友投稿
二项式系数之和的推导基于二项式定理。二项式定理指出，对于任何实数(a)和(b)，以及任何非负整数(n)，有：
[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k ]
其中(\binom{n}{k})表示组合数，即从(n)个不同元素中取出(k)个元素的组合数目。要找到系数之和，我们考虑将(a)和(b)都设为1：
[ (1 + 1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cdot 1^{n-k} \cdot 1^k ]
这样(1^{n-k} \cdot 1^k = 1)，于是上式变为：
[ 2^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} ]
所以二项式系数之和就是(2^n)。这个结果表明，无论(n)的值是多少，所有组合数的和总是等于(2)的(n)次方。
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