椭圆面积公式定积分推导过程
椭圆的面积可以通过定积分来推导。首先考虑一个标准的椭圆方程 (\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1)，其中 (a) 和 (b) 是椭圆的半长轴和半短轴。为了计算椭圆的面积，我们考虑椭圆在第一象限的部分，并将其旋转180度，从而得到整个椭圆的面积。
在第一象限(y) 的值是从0到 (b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}) 的。所以椭圆的面积 (A) 可以表示为从 (x = -a) 到 (x = a) 的定积分：
[ A = 4 \int_{-a}^{a} b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \, dx ]
通过三角代换，设 (x = a\sin\theta)，则 (dx = a\cos\theta d\theta)，且当 (x = -a) 时，(\theta = -\frac{\pi}{2})，当 (x = a) 时，(\theta = \frac{\pi}{2})。代入积分中得到：
[ A = 4 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} b\sqrt{1 - \sin^2\theta} a\cos\theta \, d\theta ]
利用三角恒等式 (\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta)，积分简化为：
[ A = 4ab \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta \, d\theta ]
由于 (\cos^2\theta) 是偶函数，我们可以将积分限从 (-\frac{\pi}{2}) 到 (\frac{\pi}{2}) 改为从 0 到 (\pi)，并将结果乘以 2：
[ A = 4ab \int_{0}^{\pi} \cos^2\theta \, d\theta = 2 \cdot 4ab \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi ab ]
所以椭圆的面积是 (2\pi ab)。
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