求2010年北大自主招生语文试题

数学

1．（文科题）大概是证明在0＜x＜1范围内x/2<arctanx<x

2．（文理均做）求证：边长为1的正五边形，任意两顶点AB的连线长度不超过（√5+1）/2

（注：此题改编自2008年北京大学自主招生数学试题第一题）

3．（文理均做）抛物线y=1-x^2，A、B为抛物线上分别在y轴两侧的点。求A、B两点切线与x轴围成的三角形的最小面积

4．（文理均做）O、A、B为平面三点。|OA|=2，|OB|=1，θ为OA、OB夹角。OP（向量）=tOA（向量），OQ（向量）=（1-t）OB（向量）。设|PQ|取最小时t=t0，问θ为何范围时，0<t0<1/5

5．（理科题）0<x<2/π，求证是否可能使sinx、cosx、tanx、cotx以一定顺序成等差数列

物理

1．光滑平面，两个相隔一定距离的小球分别以Vo（左）和0.8Vo（右）反向匀速运动，它们中间有两个小球1在左侧m，2在右侧2m，中间有一压缩的弹簧，弹性势能为Ep，当弹性势能全部释放后（1）求小球1，2的速度（2）若小球1能追上左边的以Vo运动的球，而小球2不能追上右边以0.8Vo运动的球，求m的取值范围。

2．物体做斜抛运动（1），抛出速度V与水平面夹角为θ，求落回抛出平面时与抛出点的距离。（2）若人以Vo抛出一个球，落回抛出平面时与抛出点的距离为L，求抛出速度的最小值，以及此时的θ。

3．一质量为m，边长为b的正方体，在其左上角一点施力F，使得其向前翻动和向后翻动，而不滑动。问F至少为多少？平面摩擦因数u至少为多少？

4．理想气体，从A状态到B状态到C状态后回到A状态，AB为等温变化（P减小V增大），BC等压变化（V减小），CA为等积变化（P减小）

（1）三个过程中哪个气体对外做功的绝对值最大？

（2）哪个过程内能增加，哪个减少？

（3）BC和CA过程中哪个过程的吸热和放热的绝对值大？

5.正四面体，每条边的电阻均为R，取一条边的两个顶点，问整个四面体的等效电阻为多少。

6.光滑U型导轨上有一导体切割匀强磁场匀速运动，回路中有一电阻为R=0.3Ω，切割长度为70cm，磁场强度B=0.5T

（1）回路中产生的感应电动势

（2）R的功率

（3）维持导体做匀速直线运动的外力大小

7．直角坐标系，y>0的范围内有匀强磁场B，y<0范围内有竖直向下电场，P（3l，0）Q（0，4l），一个m带电-q的粒子从O点出射，与X轴正方向夹角为φ，一直沿O、P、Q围成的闭合图形运动

（1）求运动速度V，φ

（2）求场强大小E