2020年江苏预测试卷模拟试卷

2020年江苏高考预测模拟试卷（一）

数学(满分160分，考试时间120分钟)

参考公式：

柱体的体积公式：V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是高．

直棱柱的侧面积公式：S直棱柱侧＝ch，其中c是直棱柱的底面周长，h是高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．

1.已知集合A＝{1，6，9}，B＝{1，2}，则A∩B＝________．

【答案】：{1}

【解析】A∩B＝{1}．本题主要考查集合的运算．

2.复数(1＋i)2＝a＋bi(a、b是实数，i是虚数单位)，则a＋b的值为____________．

【答案】：2

【解析】由题设知2i＝a＋bi，从而a＝0，b＝2，a＋b＝2.

3.函数y＝log2(x－3)的定义域为________．

【答案】:(3，＋∞)

【解析】由题设知x－3＞0，即x＞3.本题考查对数函数的定义．

4.某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到频率分布直方图(如图所示)，则分数在[70，80)内的人数是________．

(第4题)

【答案】:30

【解析】由题设可知a＝0.03，从而[70，80)人数为0.03×10×100＝30人．

5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的i的值是________．

(第5题)

【答案】:5

【解析】由流程图可知循环体执行5次分别如下：

此时S＞20，退出，故i＝5.

6.已知函数f(x)＝xx－2，则不等式f(－x)≤f(1)的解集为________．

【答案】:[－1，＋∞)

【解析】f(x)示意图如下：f(1)＝1，令x(x－2)＝1，x2，解得x＝＋1，从而f(－x)≤f(1)，即－x≤＋1，解得x≥－1.本题利用函数的图象求解不等式，考查了数形结合的数学思想．

7.圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)、B(0，－2)，则圆C

的方程为____________________．

【答案】:(x－2)2＋(y＋3)2＝5

【解析】由题易知圆心纵坐标y＝－3，代入直线2x－y－7＝0得圆心D(2，－3)，r2＝22＋12＝5.因而圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.

8.函数y＝sin2x＋cos2的单调递增区间是________．

【答案】:(k∈Z)

【解析】用降幂公式化简可得y＝(1－cos2x)＋[1＋cos]＝1＋sin(2x－)，从而令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，解得－＋kπ≤x≤π＋kπ.

9.已知在等差数列{an}中，若m＋2n＋p＝s＋2t＋r，m、n、p、s、t、r∈N，则am＋2an＋ap＝as＋2at＋ar.仿此类比，可得到等比数列{bn}中的一个正确命题：若m＋2n＋p＝s＋2t＋r，m、n、p、s、t、r∈N，则______________．

【答案】:bm(bn)2bp＝bs(bt)2br

【解析】由类比推理将加法换成乘法、乘法换成乘方即得结论．

10.正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的

表面积为________．

【答案】:100π

【解析】设外接球半径为R，则(2R)2＝62＋(4×2)2从而R＝5.∴S球＝4πR2＝100π

11.已知Rt△ABC中，P是斜边BC上的一点，且满足AP＝2PC＝PB，则cosC＝________．

【答案】:

【解析】不妨设PC＝1，则BP＝3，PA＝2，设AC＝x，AB＝y，则由勾股定理知x2＋y2＝16，又cos∠BPA＋cos∠APC＝0知＋，整理得28－y2－3x2＝0，从而得x＝，即cosC＝＝.

12.已知a、b、c是单位向量，a⊥b，则(a＋b＋2c)·c的最大值是________．

【答案】:2＋

【解析】由题设知a＋b2＝a2＋b2＝2，又(a＋b＋2c)c＝(a＋b)c＋2c2＝a＋bccosθ＋2＝2＋cosθ，从而原式最大值为2＋.

13.已知椭圆T：＋＝1，A、B为椭圆T的左、右两个顶点，P为椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB交直线x＝6于M、N两点，则线段MN的最小值为________．

【答案】:4

【解析】由对称性知，不妨设P在y轴上方(x0，y0)，y0＞0，则AP的方程为y＝(x＋2)，令x＝6，得y1＝，BP的方程为y＝(x－2)，令x＝6得y2＝，从而MN＝y1－y2＝4y0，由(x0，y0)在T上，知y0＝·＝，即MN＝2·＝2·，令6－x0＝m＞0，则MN＝2＝2，易知－32＋12－1最大值为－1＋＝，从而MN最小值为2×2＝4.

14.已知函数f(x)＝(其中k≥0)，若函数y＝f[f(x)]＋1有4个零点，则实数

k的取值范围是________．

【答案】:k≥

【解析】令t＝f(x)，则f(t)＋1＝0，∴

关于x有4个解，又t＝f(x)示意图如图．

f(t)＝－1有两解：

t2＜－1，t1＝，

而f(x)＝t(k≥0)，当t2＜－1时，由图象可知方程f(x)＝t肯定有两解；当t1＝时，由题意知，方程f(x)＝在x∈R上必须有两解，由图象知k≥.

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A(x1，y1)，α∈.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x2，y2)．

(1)若x1＝，求x2；

(2)过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，记△AOC及△BOD的面积分别为S1、S2，且S1＝S2，求tanα的值．

【解析】(1)因为x1＝，y1＞0，

所以y1＝＝.

所以sinα＝，cosα＝.(2分)

所以x2＝cos＝cosαcos－sinαsin＝－.(6分)

(2)S1＝sinαcosα＝sin2α.

因为α∈，

所以α＋∈(，)．

所以S2＝－sincos

＝－sin＝－cos2α.(8分)

因为S1＝S2，所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－.(10分)

所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－.

因为α∈，所以tanα＝2.(14分)

16.(本小题满分14分)

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PC中点，F为线段AC上一点．

(1)求证：BD⊥EF；

(2)若EF∥平面PBD，求的值．

【解析】(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

所以PA⊥BD.(2分)

又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(5分)

又EF平面PAC，所以BD⊥EF.(7分)

(2)解：设AC与BD交于O，连结PO，

因为EF∥平面PBD，平面PAC∩平面PBD＝PO，且EF平面PAC，则EF∥PO.(11分)

又E是PC中点，

所以OF＝FC，所以AF＝3FC，即＝3.(14分)

17.(本小题满分15分)

从旅游景点A到B有一条100公里的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目．已知游轮每小时使用的燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为50km/h，当游轮速度为10km/h时，燃料费用为每小时60元，若单程票价定为150元/人．

(1)一艘游轮单程以40km/h航行，所载游客为180人，轮船公司获得的利润是多少？

(2)如果轮船公司要获取最大利润，游轮的航速为多少？

【解析】设游轮以vkm/h的速度航行，游轮单程航行的总费用为f(v)元，∵游轮的燃

料费用每小时k·v3元，依题意k·103＝60，则k＝，(2分)

∴f(v)＝v3·＋3240·＝6v2＋.(5分)

(1)当v＝40km/h时，f(v)＝6×402＋＝17700(元)，

轮船公司获得的利润是150×180－17700＝9300元．(7分)

(2)f′(v)＝12v－＝，

令f′(v)＝0，得v＝30,(9分)

当0v30时，f′(v)0，此时f(v)单调递减；

当30v≤50时，f′(v)0，此时f(v)单调递增．(12分)

故当v＝30时，f(v)有极小值，也是最小值，f(30)＝16200，

∴轮船公司要获取最大利润，游轮的航速应为30km/h.(15分)

18.(本小题满分15分)

已知函数f(x)＝2x2＋，g(x)＝lnx＋b.

(1)当b＝0时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的极值；

(2)若b是正整数，且g(x)≤ax≤f(x)对任意x∈(0，＋∞)恒成立，试求b的值及a的取值范围．

【解析】(1)当b＝0时，h(x)＝2x2＋－lnx，

h′(x)＝4x－＝(x0)，

令h′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)，(3分)

当0x时，h′(x)0，此时函数h(x)在上单调递减；当x时，h′(x)0，此时函数h(x)在上单调递增，(5分)

∴当x＝时，h(x)有极小值h＝1＋ln2.(7分)

(2)∵g(x)≤ax≤f(x)对任意x∈(0，＋∞)恒成立，∴g(x)≤f(x)对任意x∈(0，＋∞)恒成立，即b≤2x2＋－lnx.

由(1)知，h(x)＝2x2＋－lnx，当x＝时有极小值，也是最小值，∴b≤1＋ln2.

∵b是正整数，且1＋ln2∈(1，2)，∴b＝1.(10分)

又g(x)≤ax≤f(x)，即≤a≤2x＋，

∵2x＋≥2，∴a≤2.(12分)

设φ(x)＝，则φ′(x)＝－，令φ′(x)＝0，则x＝1，当0x1时，φ′(x)0；当x1时，φ′(x)0，则当x＝1时，φ(x)有极大值，也是最大值1，∴a≥1，∴1≤a≤2.

b＝1，1≤a≤2.(15分)

19.(本小题满分16分)

已知椭圆K1：＋＝1(ab0)的右焦点F(c，0)，抛物线K2：x2＝2py(p0)的焦点为G，椭圆K1与抛物线K2在第一象限的交点为M，若抛物线K2在点M处的切线l经过椭圆K1的右焦点，且与y轴交于点D.

(1)若点M(2，1)，求c；

(2)求a、c、p的关系式；

(3)试问△MDG能否为正三角形？若能，请求出椭圆的离心率；若不能，请说明理由．

【解析】(1)当M(2，1)时，抛物线的方程是x2＝4y，即y＝，其在点M处的切线方程为y－1＝x－2，与x轴的交点为(1，0)，

∴c＝1.(3分)

(2)设M(x00)，∵y＝x2，∴y′＝，

∴切线l：y－＝(x－x0)，即y＝x－.

令x＝0得D，

∵切线l过右焦点F，得x0＝2c，则y0＝＝，

∵M在椭圆上，∴＋＝1.(8分)

(3)(解法1)∵G为抛物线的焦点，

∴MG＝y0＋＝＋，GD＝yG－yD＝＋，

∴GD＝MG，即△MDG为等腰三角形．

又△MDG为等边三角形，故直线MD的倾斜角为30°，即直线MD的斜率为，即＝，(12分)

当2c＝p时，p＝2c代入＋＝1，得12c4－16a2c2＋3a4＝0，即12e4－16e2＋3＝0，得e2＝(舍正)，

∴e＝＝＝.

故△MDG能为正三角形，此时椭圆的离心率为.(16分)

(解法2)∵G为抛物线的焦点，

∴MG＝y0＋＝＋，GD＝yG－yD＝＋，

∴GD＝MG，即△MDG为等腰三角形．

∵M在椭圆上，假设△MDG能为正三角形，则需xM＝GD，且＋＝1.由xM＝GD，得2c＝(＋)，将x0＝2c代入并化简得4c2－pc＋p2＝0，

∴(2c－p)＝0，∴2c＝p或2c＝p.(10分)

当2c＝p时，对应的△MDG是顶角为的等腰三角形，不合题意，舍去，(12分)

当2c＝p时，p＝2c代入＋＝1，得12c4－16a2c2＋3a4＝0，即12e4－16e2＋3＝0，得e2＝(舍正)，

∴e＝＝＝.故△MDG能为正三角形，此时椭圆的离心率为.(16分)

20.(本小题满分16分)

数列{an}、{bn}中，a1＝1，b1＝2，且an＋1＋(－1)nan＝bn，n∈N，设数列{an}、{bn}的前n项和分别为An和Bn.

(1)若数列{an}是等差数列，求An和Bn；

(2)若数列{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列：

①求A2013；

②是否存在实数m，使A4n＝m·a4n对任意自然数n∈N都成立？若存在，求m的值；

若不存在说明理由.

【解析】(1)依题意：a2－a1＝b1，又数列{an}是等差数列，所以数列{an}的公差是b1＝2，所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1，所以An＝·n＝n2.(2分)

当n是奇数时，Bn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(a2－a1)＋(a3＋a2)＋(a4－a3)＋…＋(an＋1－an)＝－a1＋2(a2＋a4＋a6＋…＋an－1)＋an＋1＝n2＋n.

当n是偶数时，Bn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(a2－a1)＋(a3＋a2)＋(a4－a3)＋…＋(an＋1＋an)＝－a1＋2(a2＋a4＋a6＋…＋an)＋an＋1＝n2＋3n，

所以Bn＝(6分)

(2)①A2013＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2013＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2012＋a2013)＝a1＋b2＋b4＋b6＋…＋b2012＝a1＋b2＝＋.(8分)

②一般地，当n是奇数时，

An＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝a1＋b2＋b4＋b6＋…＋bn－1＝a1＋b2＝＋.(10分)