微专题1直线与圆的位置关系

主题4解析几何

微专题1直线与圆的位置关系

问题背景

直线是简单的轨迹，圆是完美的曲线，它们结合在一起演绎了许多精彩的“故事”，它们相交、相离，还相切呢.

解析几何是一门经典的数学分支，当我们还在乐此不疲地谈论着学习它的重要意义的时候，发现西方许多国家却不开设解析几何，这引起了我国教学教育专家的关注.原来，人家注重让学生掌握更多的具有时代气息的数学（如概率、向量）.我省把解几内容及教学要求做了适度的调整，高考中，淡化了对双曲线、抛物线的考查，明显地，直线与圆的“地位”上升了.

直线与圆的位置关系问题的研究方法，在解析几何中具有“承上启下”的作用.

如今这部分内容在高考中经常出现.一方面，直线与圆有许多平面几何性质，在研究它们之间的位置关系的时候，如果善于借助平面几何知识，无疑，既能开阔思路，又能简化运算；另一方面，研究直线与圆的位置关系，又可以利用直线和圆的方程联立成方程组，提高对方程（组）解情况的研究来判断它们之间的位置关系，这种方法是研究直线与圆锥曲线位置关系的一般方法.

思维模型

说明：

1.解决方案及流程

解决直线与圆的位置关系问题用到的思想方法有：

①数形结合，善于观察图形，充分运用平面几何知识，寻找解题途径；

②等价转化，如把切线长的最值问题转化为圆外的点到圆心的距离问题，把公切线的条数问题转化为两圆的位置关系问题，把弦长问题转化为弦心距问题等；

③特定系数法，还要合理运用“设而不求”，简化运算量.

2.失误与防范

求圆切线时注意斜率不存在的情况，要注意判断直线和圆的位置关系.

问题解决

一、典型例题

1.判断直线与圆的位置关系

例1已知圆，直线，下面四个命题：

（1）对任意实数与，直线和圆相切；

（2）对任意实数与，直线和圆有公共点；

（3）对任意实数，必存在实数，使得直线与和圆相切；

（4）对任意实数，必存在实数，使得直线与和圆相切；

其中真命题的序号是____.（写出所有真命题的序号）

2.直线与圆相交求弦长

求直线被圆截得的弦长.

3.圆上的点到直线的距离问题

已知圆和直线，

（1）若圆上有且只有4个点到直线的距离等于1，求半径的取值范围；

（2）若圆上有且只有3个点到直线的距离等于1，求半径的取值范围；

（3）若圆上有且只有2个点到直线的距离等于1，求半径的取值范围；

4.直线与圆的综合应用

已知圆的方程为.

（1）求过点且与圆相切的直线的方程；

（2）直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程；

（3）圆上有一动点，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.

二、自主探究

1.已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为____.

2.已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，且与直线相切，则圆的方程是____.

3.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是____.

4.若圆在不等式所表示的平面区域内，则的最小值为____.

5.过点向圆所引切线的方程为____.

6.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为____.

7.在平面直角坐标系中，已知圆上有且只有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是____.

8.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是____.

9.已知圆是轴上的动点，分别切圆于两点.

（1）若点的坐标为，求切线的方程；

（2）求四边形的面积的最小值；

（3）若，求直线的方程.

10.如图，已知位于轴左侧的圆与轴相切于点且被轴分成的两段圆弧长之比为，过点的直线与圆相交于两点，且以为直径的圆恰好经过坐标原点.

（1）求圆的方程；

（2）当时，求出直线的方程；

（3）求直线的斜率的取值范围.