相似三角形典型模型及例题

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1：相似三角形模型

一：相似三角形判定的基本模型

（一）A字型、反A字型（斜A字型）

A

A

D

DEE

BCBC

（平行）（不平行）

（二）8字型、反8字型

AABBOJCDCD（蝴蝶型）（平行）（不平行）

（三）母子型

AA

D

D

BCC

（四）一线三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：

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（五）一线三直角型：

三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：

当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

（六）双垂型：

A

D

C

二：相似三角形判定的变化模型

旋转型：由A字型旋转得到

A

DE

BC

8字型拓展

A

EF

G

BC

共享性

一线三等角的变形

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一线三直角的变形

2：相似三角形典型例题

（1）母子型相似三角形

例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．

求证：OC2OAOE．

例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上,DEBABC．求证：（1）DB2DEDA；（2）DCEDAC．B

D

EACABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．例3：已知：如图，等腰△求证：BE2EFEG．

1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2FBFC．

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2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线

交于一点N。求证：(1)△AME∽△NMD;(2)ND2=NC·NB

3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。

求证：EB·DF=AE·DB

4.在ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EFBC，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。求

证：GBM90

A

M

E

H

BD

FC

G

5已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于

点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；

l2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

l3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．

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