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什么叫矢量正交归一

发表时间：2024-07-28 07:32:22 来源：网友投稿

矢量正交归一（Vector Orthogonalization and Normalization）是一种常见的线性代数变换方法，用于将一组线性无关的矢量转化为一个标准正交基，方便矢量计算和线性代数运算。

具体来说对于一组具有 $n$ 个元素（$n$ 维向量）的矢量 ${v_1, v_2, ..., v_n}$，矢量正交归一化的方法是：

1. 对于第一个矢量 $v_1$，直接进行归一化，即将其长度标准化为 1。

2. 对于第二个矢量 $v_2$，计算其与第一个矢量 $v_1$ 的点积，将其投影到 $v_1$ 上得到一个新的矢量 $p$，然后将 $v_2$ 减去它在 $v_1$ 上的投影，即 $v_2=p-cv_1$。这样得到的 $v_2$ 与 $v_1$ 正交。

3. 用同样的方法处理第三个矢量 $v_3$，先将 $v_3$ 归一化得到 $widehat{v_3}$，然后计算其在 $v_1$ 和 $v_2$ 上的投影，得到 $p_1$ 和 $p_2$，最后将 $v_3$ 减去它在 $v_1$ 和 $v_2$ 上的投影，即 $v_3=p_1+q-cv_1-dv_2$。这样得到的 $v_3$ 既与 $v_1$ 正交，又与 $v_2$ 正交。

4. 以此类推处理所有剩余的矢量，经过归一化和投影，最终得到一组标准正交矢量，它们之间互相正交，长度为 1，可以用作求解线性方程组、计算矩阵特征值、进行张量分析等线性代数计算。

矢量正交归一化是很多数学和工程中必须的基础知识，可以大量提高计算效率和简化问题求解。

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