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求解4阶行列式怎么用代数余子式算

发表时间：2024-07-31 18:16:36 来源：网友投稿

设 $A$ 为 $4$ 阶矩阵，行列式为 $|A|$。

首先可以使用代数余子式将 $|A|$ 展开。记 $A_{ij}$ 为 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$列的元素，$A^{ij}$ 为 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素的代数余子式，即 $A^{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，其中 $M_{ij}$ 为 $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列元素划掉所形成的 $3$ 阶方阵的行列式。根据行列式的定义，有：$$\\begin{aligned}|A| = \\sum_{j=1}^4 A_{1j} A^{1j} = A_{11} A^{11} + A_{12} A^{12} + A_{13} A^{13} + A_{14} A^{14} \\\\= A_{11} (-1)^{1+1} M_{11} + A_{12} (-1)^{1+2} M_{12} + A_{13} (-1)^{1+3} M_{13} + A_{14} (-1)^{1+4} M_{14} \\\\= A_{11} M_{11} - A_{12} M_{12} + A_{13} M_{13} - A_{14} M_{14}\\end{aligned}$$这就是用代数余子式求解 $4$ 阶行列式的方法。利用此公式将 $3$ 阶行列式展开为 $2$ 阶的过程类似，上面的公式可以一步步地得到。

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