高斯积分推导过程

高斯积分是一种求解平面内某一区域上函数值平均值的方法，其推导过程如下：

假设有一个圆形区域 $D$，半径为 $a$，其中心点为原点 $(0,0)$，某一函数 $f(x,y)$ 在圆形区域上的平均值为：

将 $D$ 中的点 $(x,y)$ 转化为极坐标 $(r,\ heta)$，则 $x = r\\cos\ heta$，$y = r\\sin\ heta$。圆形的面积元素为 $dA = r\\, dr\\, d\ heta$，则积分可以写成：

$$\\bar{f} = \\frac{1}{\\pi a^2} \\iint_D f(x,y) \\, dx \\, dy = \\frac{1}{\\pi a^2} \\int_0^{2\\pi} \\int_0^a f(r\\cos\ heta, r\\sin\ heta) \\cdot r \\, dr \\, d\ heta$$

$$\\begin{aligned} \\bar{f} &= \\frac{1}{\\pi a^2} \\int_0^{2\\pi} I(\ heta) \\, d\ heta \\\\ &= \\frac{1}{\\pi a^2} \\int_0^{2\\pi} \\int_0^a f(r\\cos\ heta, r\\sin\ heta) \\cdot r \\, dr \\, d\ heta \\\\ &= \\frac{1}{\\pi a^2} \\int_0^{2\\pi} \\int_0^a f(x,y) \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{x^2+y^2}} \\, dx \\, dy \\end{aligned}$$

令 $r = \\sqrt{x^2+y^2}$，则 $dx\\,dy = r\\, dr\\, d\ heta$，积分可以写成：

$$\\begin{aligned} \\bar{f} &= \\frac{1}{\\pi a^2} \\int_0^{2\\pi} \\int_0^a f(x,y) \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{x^2+y^2}} \\, dx \\, dy \\\\ &= \\frac{1}{\\pi} \\int_0^{2\\pi} \\int_0^a f(r\\cos\ heta, r\\sin\ heta) \\cdot \\frac{1}{r} \\, r \\, dr \\, d\ heta \\\\ &= \\frac{1}{\\pi} \\int_0^{2\\pi} \\int_0^a f(r\\cos\ heta, r\\sin\ heta) \\, dr \\, d\ heta \\end{aligned}$$