高一数学问题！（写出解答过程）

[color=red]未解决问题[/color]

[问]

1已知cos(X+π/4)=3/5,17π/12<x<7π/4,求sin2x+2sin²x/1—tanx的值.

2已知4sin²x－6sinx－cos²x+3cosx=0,求cos2x－sin2x/(1－cos2x)(1－tan2x)的值.

3求证：cos³a＋sin³a＋cos四次方a－sin四次方a=4√2乘以cos(π/4－a/2)乘以cos²a/2.

4、已知X∈(0,pai/2)

求证

sinx+tanx>2x

5.已知x>=y>=z>=15度,且x+y+z=90度

求cosx*siny*cosz的最大值和最小值

6.已知函数f(x)=2a(sinx)^2-2sqr(3)sinxcosx+b的定义域为[0,pi/2],值域为[-5,-4],求常数a,b.

7.△ABC中，∠CAB=900，∠C=300,，AB=1。现有点P、Q同时从A点出发，P沿AC，Q沿AB、BC分别作匀速运动，结果同时到达C。

求：1）点Q与P运动的速度比

2设AP=x,S△APQ=y，当点Q在BC边上运动时求x与y函数关系试

3）当点Q在BC上运动到什么时候位置时，S△ABQ+S△CPQ得值最小？（S△ABQ+S△CPQ）

8.设函数f(x)的定义域是集合A={1，2，3，4，5，6}，值域是集合B={1，2，3}，且对任意的a，b∈A，当a≤b时，一定有f(a)≤f(b)，这样的函数f(x)有

A、11个B、10个C、9个D、8个

9.若f(x)满足：对任意x,y，tf(x)+(1-t)f(y)>=f(tx+(1-t)y)成立，求证：在[0,1]上存在C，使得|f(x)-f(y)|<=C|x-y|成立。

10.

[color=red]已经解决问题[/color]

1.已知A、B、C都是正角

且(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=1

求证A+B+C>90度

[答]

不妨设A,B,C均为锐角，则cos(A-B)>cos(A+B),

1=(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=1-cos(A+B)cos(A-B)+(sinC)^2

<1-[cos(A+B)]^2+(sinC)^2

即cos(A+B)<cos(90-C)

于是

A+B>90-C

2.要使函数y＝x2－2ax＋1在〔1，2〕上存在反函数，则a的取值范围是

[答]

这个函数要在[1，2]上一一对应啦，只要对称轴x=a不在这里面就行了

即a=2

3.已知sinα-sinβ=-1/3,cosα-cosβ=1/2,求cos(α-β)的值。

[答]

(sinα-sinβ)^2=sinα^2-2sinaαsinβ+sinβ^2=1/9(1);

(cosα-cosβ)^2=cosα^2-2cosαcosβ+cosβ^2=1/4(2),

(1)+(2)=2-2cos(α-β)=1/9+1/4.化简即可！

4.求值：sin派/7*sin2派/7*sin3派/7（分别为2/7，3/7，免得引起歧义）

[答]

a=kπ/7(k=0,1,2,3,4,5,6)是方程tan(7a)=0的解，令x=tana,

因为tan(4a)=-tan(3a)，整理得

x^6-21*x^4+35*x^2-7=0,由伟达定理得知

tana*tan(2a)*tan(3a)*tan(4a)*tan(5a)*tan(6a)=-7,而tan(ka)=-tan[(7-k)a],k=0,1,2,3,4,5,6,於是知道

tan(π/7)*tan(2π/7)*tan(3π/7)=sqrt(7),又cos(π/7)*cos(2π/7)*cos(3π/7)=1/8,从而sin(π/7)*sin(2π/7)*sin(3π/7)=sqrt(7)/8=sqrt(7/64)

5.已知asinx+bcosx=0,Asin2x+Bcos2x-C=0

求证2abA+(b^2-a^2)B+(a^2+b^2)C=0

[答]

由asinx+bcosx=0得sinx=(-b/a)cosx,代入Asin2x+Bcos2x-C=0得

2A(-b/a)(cosx)^2+B[2(cosx)^2-1]-c=0

即(cosx)^2=a(B+C)/(2aB-2bA)。令(B+C)/(2aB-2bA)=y则有(cosx)^2=ay

(sinx)^2=根号(1-ay)

两边平方asinx+bcosx=0得a^2(sinx)^2+b^2(cosx)^2+2absinxcosx=0

即(1-ay)a+yb^2=-2bsinxcosx

也就是a+(b^2-a^2)y=-2bsinxcosx,两边平方，得

a^2+2a(b^2-a^2)y+[b^4+a^4-2(ab)^2]y^2=4b^2(1-ay)ay=4ayb^2-4(ab)^2y^2

即a^2+2a(b^2+a^2)y+[b^4+a^4+2(ab)^2]y^2=0

[a+(a^2+b^2)y]^2=0得a+(a^2+b^2)y

把y=(B+C)/(2aB-2bA)代入上式，化简即得

6.求cos(π/7)-cos(2π/7)+cos(3π/7)之值

[答]

方法1：

原式=原式*2cos(π/14)/[2cos(π/14)]

={[cos(3π/14)+cos(π/14)]-[cos(5π/14)+cos(3π/14)]+[cos(7π/14)+cos(5π/14)]}/[2cos(π/14)]

=1/2

方法2：

设原式=u,因为cos(π/7)*cos(2π/7)*cos(4π/7)=2sin(π/7)*cos(π/7)*cos(2π/7)*cos(4π/7)/[2sin(π/7)]=-1/8,而

-1/8=cos(π/7)*cos(2π/7)*cos(4π/7)=cos(4π/7)*[cos(π/7)+cos(3π/7)]/2

=[cos(π/7)+cos(3π/7)+cos(5π/7)+cos(7π/7)]/4

=(u-1)/4

从而u=1/2

7.已知角a为锐角，求证0小于sina+cosa小于（圆周率的一半）

[答]

证明：已知a是锐角，则显然sina+cosa>0。

又sina+cosa=（根号2）sin(a+45度)=<（根号2）<（圆周率的一半）

8.设

0＜a＜1，f（logaX）=[a(X^2-1)]/[X(a^2-1)]

(1).求f(x);

(2).求证:f(x)是奇函数

(3).求证f(x)在(-∞，+∞)上是增函数。

[答]解：（1）.令t=logaX，则x=a^t

f(t)=[a*(a^2t-1)]/[a^t*(a^2-1)]

也就是

f(x)=[a*(a^2x-1)]/[a^x*(a^2-1)]

（2）.f(-x)={a*[a^(-2x)-1]}/[a^(-x)*(a^2-1)]

=a(1/a^2x-1)/[(1/a^x)*(a^2-1)]

=[a(1-a^2x)*a^x]/[a^2x*(a^2-1)]

=a(1-a^2x)/[(a^x)*(a^2-1)]

=-f(x)

所以f(x)是奇函数.

（3）设x1<x2,且x1,x2属于全体实数。

则f(x1)-f(x2)=a(a^2x1-1)/[(a^x1)*(a^2-1)]-a(a^2x2-1)/[(a^x2)*(a^2-1)]

=[a/(a^2-1)]*{(a^x1-a^x2)[a^(x1+x2)+1]}/[a^(x1+x2)]

由于00,1/(a^2-1)0,所以

f(x1)-f(x2)<0就是f(x1)<f(x2).

故命题得证。。。。。。。。。。。。。

9.(1)设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于()

A.直线y=0对称

B.直线x=0对称

C.直线y=1对称

D.直线x=1对称

(2)方程lgx+x*x=0的根属于区间（）

A.(0,1/2)

B.(1/2,1)

C.(1,2)

D.(1,+)

[答]第一题你令f(x)=x,然后带入看看就好。

第二个画图y=lgx,y=-x^2

显然交点在(0,1)间

考察x=1/2

y=lgx(x=1/2)=-lg2=-0.3

y=-x^2(x=1/2)=-1/4=-0.25

-x^2>lgx(x=1/2)

说明x=1/2时-x^2在lgx上方

所以根在(1/2,1)间

选择B

实际上方程的根在(0.52,0.53)这个区间内

10.题目：求函数y=sqr(1+2cosX)+lg(2sinX+sqr(3))定义域

这是一个错例，它给出的错解是这样的：

cosX≥-1/2

sinX>-sqr(3)/2

得到：2kπ+4π/3≤X≤2kπ+8π/3(k∈Z)

2kπ-π/3<X<2kπ+4π/3(k∈Z)

它们的交集是φ，所以无定义

它的解释是：两个k可以取任意整数，而不是只能取相同的值

现在我的问题有两个：①怎么理解“两个k可以取任意整数，而不是只能取相同的值”？

②这道题怎么解？

[答]

既然都说了两个k可以取不同的值，那不是说，就一定在数轴上没有公共部分。既然想分辨明白，把上边的k改成任意整数m，然后把这两个集合都画在数轴上，他们显然是有公共部分的。

而想有公共部分，一般的，上边的k和下边的k不一定是同一个整数。于是我可以把下边的k取作k+1，然后变成

2kπ+π〈x〈2kπ+7/3π

11.求值域[img]http://chat.pep.com.cn/lb5000/attachment.cgi?forum=38&topic=3054&postno=1&type=.gif[/img]（不用反函数法）

[答]化成两个分式，再用x-a/x的单调性

(4^x-1)/(2^(x+1))=0.5*[(2^x)-1/(2^x)]

12.对于x属于全体实数，f(x)满足F(5-x)=f(5+x).若函数f(x)在5到正无穷大（开区间）上是增函数，则f(x)在负无穷大到5（开区间）上的单调性如何？

[答]证明函数的图象关于x=5对称：对任意的实数x，f（x）=f（10-x）

设x1<x2<5

则10-x1>10-x2>5

由函数f(x)在5到正无穷大（开区间）上是增函数

f(10-x1)>f(10-x2)

即f(x1)>f(x2)

f(x)在负无穷到5单调递减

13.f(x)是定义在（-∞，3）上的减函数，不等式f（a2-sinx）≤f（a+1+cos2x）对一切x∈R均成立。求实数a的取值范围。

[答]

首先考虑定义域：a^2-sinx<3且a+1+cos2x<3当x∈R时恒成立，所以可解得-sqrt(2)<a<1

再考虑单调性：a^2-sinx>=a+1+cos2x,即a^2-a-1>=(sinx+cos2x)max=9/8,解得1-sqrt(38)/2<=a<=1+sqrt(38)/2

a的取值范围为-sqrt(2)<a<1

14.已知X1，X2分别满足方程（10的X次方+X=3)和(lgX+X=3)

则X1+X2的值是_____

[答]设t=10的X次方,则x1=lgt,

第一个方程可化为t+lgt=3与第二个方程就完全一样了

所以t=x2,

就有x1+x2=lgt+t=3

15.①对定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)=x0则x0称为函数f(x)的

一个不动点。设二次函数f(x)=x^2+mx-m+2若f(x)在[0，+∞)上有不动点

则m的取值范围_________

②已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a<0)满足f(1+x)=f(1-x)则三数f(0)f(1)f(3)

的大小关系是()

A)f(0)<f(1)<f(3)B)f(1)<f(3)<f(0)

C)f(3)<f(0)<f(1)D)f(0)<f(3)<f(1)

③设函数f(x)在(-∞，+∞)内有定义，下列函数⒈y=-f(x)⒉y=f(x^2)

⒊y=-f(-x)⒋y=f(x)-f(-x)中必定为奇函数的有__________

④若函数f(x)=1+[m/(a^x-1)]是奇函数，则m=________

⑤设a<b<c，则“函数y=f(x)在区间(a，b)与(b，c)都是单调递增”是

“y=f(x)在区间(a，c)上单调递增”的()

A)必要非充分条件B)充分非必要条件

C)充要条件D)既非充分又非必要条件

[答]

1.m大于二倍根号二-1或小于负二倍根号二-1

2.f(a+x)=f(a-x)===>直线x=a就是f(x)的对称轴,选C

3.选4,

4.根据-f(x)=f(-x)，通分，化简，可得M=2。

5.A

16.求cos1。＋cos2。＋cos3。＋·····cos179。＋cos180。

(1。指1度)

[答]

cos(x)=-cos(兀-x)

例如cos1。+cos179。=0

17.已知f(x)的定义域为（0，+∞），且f(xy)=f(x)+f(y)则下列个式错误的是（）

A.f(1)=0

B.f(x^3)=3f(x)(x>0)

C.f(x)=0(x>0)

D.f(根号下x)=（1/2）f(x)(x>0)

[答]

f(1*1)=f(1)=f(1)+f(1)

所以:2f(1)=f(1),所以f(1)=0

f(x*x*x)=f(x)+f(x*x)=f(x)+f(x)+f(x)=3f(x)

注意x>0,x*x*x>0.

f(x)=f[sqrt(x)]+f[sqrt(x)]

C是错的．

18.

[img]http://chat.pep.com.cn/lb5000/attachment.cgi?forum=38&topic=2986&postno=1&type=.gif[/img]

[答]

②④是.

f(x)的值域为y≠1,g(x)的值域为y≠1,所以P=Q

[color=red]要讨论的问题[/color]

1.反函数的困惑

老师强调反函数的定义域必须从原函数的值域来求，不然出错

可是有时例题却直接从反函数来求其定义域，什么时候可以？

好困惑阿！